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Ejemplos fórmula o ecuación de una circunferencia con centro fuera del origen

Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y) contenidos en el plano que equidistan de un centro C (h, k) que es un punto fijo. La distancia de cualquier par de coordenadas (x, y) al centro de la circunferencia se conoce como radio y se denota por la letra r.

Así, la ecuación de la circunferencia con centro no coincidente con el origen es la siguiente:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

Ejemplo 1:

Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (3, 2) y radio igual a 2.

Solución:

Sabemos que h=3, k=2 y r=2, entonces, sustituimos en la ecuación:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

(x-3)^2+(y-2)^2=2^2

La ecuación de la circunferencia de interés es la siguiente:

(x-3)^2+(y-2)^2=4

Ejemplo 2:

Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (0, -3) y radio igual a 4.

Solución:

Sabemos que h=0, k=-3 y r=4, entonces, la sustituimos en la ecuación:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

(x-0)^2+(y-(-3))^2=4^2

La ecuación de la circunferencia de interés es la siguiente:

x^2+(y+3)^2=16

Ejemplo 3:

Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (5, 0) y radio igual a 3.

Solución:

Sabemos que h=5, k=0 y r=3, entonces, la sustituimos en la ecuación:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

(x-5)^2+(y-0)^2=3^2

La ecuación de la circunferencia de interés es la siguiente:

(x-5)^2+y^2=9

Ejemplo 4:

Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (-2, 2) y que contiene el punto (3, 1).

Solución:

Primero, debemos encontrar el radio como la distancia entre el centro C (-2, 2) y el punto (3, 1):

r=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

r=\sqrt{(-2-3)^2+(2-1)^2}

r=\sqrt{(-5)^2+(1)^2}

r=\sqrt{25+1}

r=\sqrt{26}

Ahora, sustituimos los valores h=-2, k =2 y r=\sqrt{26} en la ecuación:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

(x-(-2))^2+(y-2)^2=(\sqrt{26})^2

La ecuación que buscamos es la siguiente:

(x+2)^2+(y-2)^2=26

Ejemplo 5:

Determinar la ecuación de la circunferencia que contiene los puntos (1, 1) y (-2, 1) y, además, estos dos puntos son los extremos de uno de los diámetros de la circunferencia.

Solución:

Los puntos dados son los extremos de uno de los diámetros de la circunferencia, entonces, el punto medio entre ambos puntos define el centro de la circunferencia de nuestro problema. Las coordenadas del centro se determinan con las siguientes ecuaciones:

h=\frac{x_1+x_2}{2}

h=\frac{1+(-2)}{2}

h=\frac{1-2}{2}=\frac{-1}{2}

k=\frac{y_1+y_2}{2}

k=\frac{1+1}{2}=1

Entonces, las coordenadas del centro de la circunferencia son:

(\frac{-1}{2},\hspace{0.2cm}1)

Ahora, debemos encontrar el radio, para ello sustituimos en la siguiente ecuación las coordenadas del centro que hemos determinado previamente y las coordenadas de uno de los dos puntos conocidos:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

(1-\frac{-1}{2})^2+(1-1)^2=r^2

(\frac{3}{2})^2+(0)^2=r^2

(\frac{3}{2})^2=r^2

r=(\frac{3}{2})

Es decir que, el radio es de 1.5 unidades.

Finalmente, sustituimos las coordenadas del centro y el radio en la ecuación de la circunferencia:

(x+\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=\frac{9}{4}

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Cómo citar

Editor. (18 diciembre 2019). Ejemplos fórmula o ecuación de una circunferencia con centro fuera del origen. Celeberrima.com. Última actualización el 09 marzo 2022.