Ejemplos cómo encontrar una ecuación de segundo grado dadas sus soluciones (raíces)

Una ecuación de segundo grado con una incógnita siempre tiene dos soluciones y, tiene la forma ax^2+bx+c=0.

Para encontrar esta ecuación dadas sus soluciones, x_1 y x_2, escribimos el siguiente producto:

(x-x_1)(x-x_2)=0

Al desarrollarlo obtendremos:

x^2+(-x_1-x_2)x+(-x_1\cdot-x_2)=0

Explicación:

Sean x_1=3 y x_2=-2 las raíces o soluciones de la ecuación de segundo grado que deseamos encontrar.

Escribimos un producto de la forma (x-x_1)(x-x_2)=0 y desarrollamos:

(x-3)(x+2)=0

x^2-3x+2x-6=0

x^2-x-6=0

En los siguientes ejemplos se proporcionan las raíces de la ecuación de segundo grado con una incógnita que se desea encontrar:

Ejemplo 1:

x_1=-2 y x_2=-6

Solución:

(x+2)(x+6)=0

x^2+2x+6x+12=0

x^2+8x+12=0

Ejemplo 2:

x_1=\sqrt{3} y x_2=-\sqrt{3}

Solución:

(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0

x^2-\sqrt{3}x+\sqrt{3}x-3=0

x^2-3=0

Ejemplo 3:

x_1=1 y x_2=-7

Solución:

(x-1)(x+7)=0

x^2-x+7x-7=0

x^2+6x-7=0

Ejemplo 4:

x_1=4 y x_2=4

Solución:

(x-4)(x-4)=0

x^2-4x-4x+16=0

x^2-8x+16=0

Ejemplo 5:

x_1=-4 y x_2=-4

Solución:

(x+4)(x+4)=0

x^2+4x+4x+16=0

x^2+8x+16=0

Ejemplo 6:

x_1=\frac{1}{3} y x_2=\frac{3}{4}

Solución:

(x-\frac{1}{3})(x-\frac{3}{4})=0

x^2-\frac{1}{3}x-\frac{3}{4}x+\frac{3}{12}=0

x^2-\frac{13}{12}x+\frac{3}{12}=0

Ejemplo 7:

x_1=-3 y x_2=2

Solución:

(x+3)(x-2)=0

x^2+3x-2x-6=0

x^2+x-6=0

Ejemplo 8:

x_1=2i y x_2=-2i

Solución:

(x-2i)(x+2i)=0

x^2-2ix+2ix-4i^2=0

x^2+4=0

En este caso se tienen raíces o soluciones imaginarias, y hay que recordar que i^2=-1.

Ejemplo 9:

x_1=2+3i y x_2=2-3i

Solución:

(x-2-3i)(x-2+3i)=0

x^2-2x+3ix-2x+4-6i-3ix+6i+9i^2=0

x^2-4x-5=0

Ejemplo 10:

x_1=-7 y x_2=7

Solución:

(x+7)(x-7)=0

x^2+7x-7x-49=0

x^2-49=0

Ejemplo 11:

x_1=0 y x_2=5

Solución:

(x-0)(x-5)=0

x^2-5x=0