De manera general podemos decir que la formulación de un modelo de programación lineal consiste de 7 pasos: ordenar la información, identificar el objetivo y las restricciones, definir las variables de decisión, definir la función objetivo, definir las restricciones, establecer las condiciones de no negatividad y presentar el modelo completo.
Como ejemplo vamos a considerar el siguiente problema:
Un productor fabrica sillones de descanso y sillas ejecutivas. Cada sillón de descanso aporta a la utilidad 14 400 pesos, mientras que una silla aporta 18 000 pesos.
Existen tres departamentos involucrados en la producción de los dos productos: corte, ensamble y acabado. Los tres departamentos pueden disponer de 1 080 horas hombre semanales.
Los sillones de descanso requieren de 7.2, 8.08 y 6 horas hombre en los departamentos de corte, ensamble y acabado, respectivamente.
Las sillas ejecutivas requieren de 9, 6.8 y 9.75 horas hombre en los departamentos de corte, ensamble y acabado, respectivamente.
Paso 1. Ordenar la información
Primero ordenamos la información en una tabla:
La tabla nos facilita leer la información en el momento en que estamos modelando.
Paso 2. Identificar el objetivo y las restricciones
El objetivo es maximizar la utilidad.
Las restricciones se resumen a continuación:
- El departamento de corte solamente dispone de 1 080 horas a la semana. Cada sillón necesita de 7.2 horas y cada silla de 9 horas.
- El departamento de ensamble solamente dispone de 1 080 horas a la semana. Cada sillón necesita de 8.08 horas y cada silla de 6.8 horas.
- El departamento de acabado solamente dispone de 1 080 horas a la semana. Cada sillón necesita de 6 horas y cada silla de 9.5 horas.
Paso 3. Definir las variables de decisión
Con un poco de pericia nos damos cuenta que necesitamos determinar la cantidad de sillones y sillas a producir que maximizan la utilidad. La primera oración del ejemplo nos dice que estamos considerando la fabricación de dos productos, sillones de descanso y sillas ejecutivas:
Un productor fabrica sillones de descanso y sillas ejecutivas. […]
Entonces, definimos las variables de decisión de la siguiente manera:
Sean Sn y Sa el número de sillones de descanso y de sillas ejecutivas a producir a la semana, respectivamente.
El horizonte de tiempo semanal lo hemos notado al leer la última parte del segundo párrafo:
Los tres departamentos pueden disponer de 1 080 horas hombre semanales
Paso 4. Definir la función objetivo
Sabemos que el productor desea maximizar la utilidad al terminar de leer el primer párrafo:
Cada sillón de descanso aporta a la utilidad 14 400 pesos, mientras que una silla aporta 18 000 pesos.
La función objetivo la escribimos en función de las variables de decisión previamente definidas:
Hemos establecido que deseamos maximizar la utilidad y que las contribuciones unitarias a la utilidad de sillones (Sn) y sillas (Sa) son 14 400 y 18 000 pesos, respectivamente.
Esta información también la podemos encontrar en la segunda fila de la tabla.
Paso 5. Definir las restricciones
Para escribir las restricciones tenemos que poner atención a los últimos tres párrafos del ejemplo:
Existen tres departamentos involucrados en la producción de los dos productos: corte, ensamble y acabado. Los tres departamentos pueden disponer de 1 080 horas hombre semanales.
Los sillones de descanso requieren de 7.2, 8.08 y 6 horas hombre en los departamentos de corte, ensamble y acabado, respectivamente.
Las sillas ejecutivas requieren de 9, 6.8 y 9.75 horas hombre en los departamentos de corte, ensamble y acabado, respectivamente.
Vamos a establecer primero la restricción del departamento de corte. Existe una disponibilidad de 1 080 horas hombre semanales y cada sillón de descanso que se fabrica requiere de 7.2 horas hombre en dicho departamento, además, cada silla ejecutiva que se produce consume 9 horas hombre en el mismo departamento.
Entonces, la restricción del departamento de corte se escribe en función de las variables de decisión como:
Por ejemplo, supongamos que fabricamos 10 sillones y 5 sillas, cuando sustituimos estos valores en la restricción del departamento de corte tenemos:
La producción de 10 sillones consume 72 horas hombre y la producción de 5 sillas requiere de 45 horas hombre, en total, se han agotado 117 horas hombre (72+45=117) de las 1 080 disponibles.
La restricción se escribe como una desigualdad puesto que se cuenta con 1 080 horas hombre, se puede utilizar cualquier cantidad de horas hombre desde 0 hasta 1 080, pero no más de 1 080.
La restricción para el departamento de ensamble se establece de manera similar, se dispone de un máximo de 1 080 horas hombre, se requieren de 8.08 horas hombre para ensamblar un sillón y de 6.8 horas hombre para ensamblar una silla:
Análogamente, establecemos la restricción del departamento de acabado. Se cuenta con un máximo de 1 080 horas hombre, se requieren de 6 horas hombre para completar un sillón y de 9.75 horas hombre para completar una silla:
Paso 6. Establecer la no negatividad
Este paso se puede convertir en algo mecánico, pero no por ello se debe omitir, es un requerimiento ineludible, todos los modelos de programación lineal deben incluir la no negatividad.
La no negatividad establece que cualquier valor que tomen las variables decisión debe ser mayor o igual a cero, entonces, escribimos lo siguiente:
Paso 7. Presentar el modelo completo
Hemos terminado de escribir el modelo lineal que resuelve el problema del productor. Solamente resta presentar el modelo de manera íntegra:
Sean Sn y Sa el número de sillones de descanso y sillas ejecutivas a producir semanalmente.
Sujeto a:
Aunque el propósito es mostrar la formulación paso a paso de un problema de maximización también mostramos la solución obtenida con Excel Solver:
La solución nos dice que la utilidad máxima de 2 160 000 pesos se obtiene fabricando 50 sillones de descanso y 80 sillas ejecutivas.
En la solución podemos ver que el departamento de corte y el departamento de acabado agotan las 1 080 horas hombre con que cuentan, mientras que el departamento de ensamble solamente requiere de 948 horas hombre para cumplir con los niveles de producción deseados.
La solución óptima de nuestro ejemplo se puede escribir como:
U*=2 160 000, Sn*=50 y Sa*=80
Los modelos lineales son una representación de problemáticas administrativas.