Esta aplicación de la programación lineal considera el problema en el que una empresa con 2 o más productos en el mercado desea determinar la cantidad a producir de cada uno de ellos para maximizar la utilidad dado que dispone de recursos limitados.
En nuestro ejemplo vamos a considerar la siguiente problemática:
Una carpintería se dedica a fabricar sillas y bancos de madera, cada silla contribuye a la utilidad con 17 pesos y cada banco con 10 pesos.
Las sillas requieren de 5 horas en el departamento de corte y ensamble y, de 3 horas en el departamento de acabado.
Los bancos requieren de 3 horas en el departamento de corte y ensamble y, de 1 hora en el departamento de acabado.
En una semana cualquiera, el departamento de corte y ensamble dispone de 180 horas, mientras que el departamento de acabado dispone de 100 horas.
Paso 1. Ordenar la información
Antes de continuar podemos ordenar un poco la información en una tabla:
Paso 2. Identificar el objetivo y las restricciones
Después de leer la problemática sabemos que el objetivo es maximizar la utilidad.
Las restricciones se pueden resumir de la siguiente manera:
- El departamento de corte y ensamble solamente dispone de 180 horas a la semana. Cada silla necesita de 5 horas y cada banco de 3 horas.
- El departamento de acabado solamente dispone de 100 horas a la semana. Cada silla requiere de 3 horas y cada banco de 1 hora.
Paso 3. Definir variables de decisión
Después de identificar el objetivo y las restricciones debemos tener claro que el propósito es determinar la cantidad de sillas y bancos a producir para maximizar la utilidad sin incumplir ninguna restricción, entonces, podemos definir las variables de decisión de la siguiente manera:
Sean S el número de sillas a producir y B el número de bancos a producir en una semana.
Paso 4. Definir la función objetivo
La segunda fila de la tabla nos muestra las utilidades unitarias de cada uno de los dos productos. Cada silla contribuye a la utilidad con 17 pesos y cada banco con 10 pesos, siendo así, escribimos la función objetivo en función de las variables de decisión de la siguiente manera:
La función objetivo establece que la utilidad total se calcula sumando la utilidad obtenida por las sillas y la utilidad obtenida por los bancos. La utilidad asociada a las sillas se calcula como sigue:
Y, la utilidad asociada a los bancos se calcula como:
El problema no restringe la demanda de sillas y bancos, la suposición implícita es que se venden todas las sillas y bancos que se fabrican.
Paso 5. Definir las restricciones
Se presentan dos restricciones para la producción de sillas y bancos, la primera establece que:
El departamento de corte y ensamble solamente dispone de 180 horas a la semana. Cada silla necesita de 5 horas y cada banco de 3 horas.
Entonces, escribimos la restricción del departamento de corte y ensamble en función de las variables de decisión de la siguiente manera:
La desigualdad (
Las sillas requieren de 5 horas de trabajo en el departamento de corte y ensamble, entonces, la cantidad de horas necesarias para producir un cierto número de sillas se calcula como:
Del mismo modo, se tiene que los bancos requieren de 3 horas de trabajo en el departamento de corte y ensamble, luego, la cantidad de horas necesarias para producir un cierto número de bancos es:
Al sumar las dos expresiones anteriores tenemos el lado izquierdo de la restricción del departamento de corte y ensamble:
La segunda restricción establece que:
El departamento de acabado solamente dispone de 100 horas a la semana. Cada silla requiere de 3 horas y cada banco de 1 hora.
Escribimos la restricción del departamento de acabado en función de las variables de decisión como:
Del mismo modo que con la restricción anterior el signo de la desigualdad (
El primer término del lado derecho de la restricción se calcula multiplicando las 3 horas de trabajo que requiere cada silla en el departamento de acabado por el número de sillas que se producen:
Y, cada banco requiere de una hora en el departamento de acabado para ser producido:
Sumando las dos expresiones anteriores tenemos el lado izquierdo de la restricción del departamento de acabado:
En ambas restricciones se tiene que la cantidad de horas utilizadas en cada departamento tiene que ser menor o igual a la cantidad de horas disponibles.
Ambas restricciones son factores limitativos de la capacidad de producción y afectan la utilidad, por ejemplo, si deseamos producir 40 sillas tendremos una utilidad de 680 pesos (17X40=680), pero es imposible de lograr con los recursos con que se cuenta ya que la producción de 40 sillas requiere de 200 horas (5X40=200) en el departamento de corte y ensamble y únicamente se dispone de 180 horas.
Del mismo modo, las horas disponibles en el departamento de acabado impiden fabricar 40 sillas puesto que para ello se necesitan 120 horas (3X40=120) y solamente contamos con 100 horas.
Paso 6. No negatividad
Escribimos las condiciones de no negatividad que acompañan a todos los problemas de programación lineal.
El número de sillas y bancos producidos debe ser mayor o igual a cero.
Paso 7. Presentar el modelo completo
Sean S el número de sillas a producir y B el número de bancos a producir en una semana.
Sujeto a:
Aunque el propósito de nuestro ejemplo es mostrar la formulación o modelado paso a paso se incluye la solución obtenida con Excel Solver:
La carpintería de nuestro ejemplo debe producir 30 sillas y 10 bancos en una semana para obtener una utilidad de 610 pesos. La solución óptima se expresa de la siguiente manera:
U*=610, S*=30 y B*=10
El problema de la mezcla de productos puede considerar tantos productos como se necesite y las restricciones sobre la capacidad de producción pueden estar relacionadas con departamentos, maquinaria, personal, etc.