Ejemplo fórmula de Herón de Alejandría calcular área de un triángulo

Herón de Alejandría estableció la fórmula para calcular el área de un triángulo a partir del semiperímetro y las longitudes de sus lados.

Fórmula:

Sea un triángulo con lados a, b y c, su área A se puede calcular a partir de su semiperímetro p como:

$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

El perímetro P de un triángulo se calcula sumando las longitudes de sus lados:

$P=a+b+c$

Luego, el semiperímetro p se define como un medio del perímetro P:

$p=\frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2}$

Ejemplo:

Consideremos el triángulo que se muestra en la siguiente figura, las longitudes de sus lados son a=25, b=20 y c=15:

Primero, calculamos el semiperímetro como la mitad del perímetro:

$p=\frac{a+b+c}{2}$

$p=\frac{25+20+15}{2}=\frac{60}{2}=30$

Ahora, sustituimos los valores en la fórmula de Herón:

$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$A=\sqrt{30(30-25)(30-20)(30-15)}$

$A=\sqrt{30(5)(10)(15)}$

$A=\sqrt{30(750)}$

$A=\sqrt{22~500}$

$A=150~u^2$

El área del triángulo son 150 unidades cuadradas, por ejemplo, si las longitudes de los lados del triángulo están dadas en metros, tendremos un área expresada en metros cuadrados.

Podemos verificar el resultado calculando el área con la fórmula tradicional que calcula el área A multiplicando la base por la altura y dividiendo el resultado entre 2:

$A=\frac{(base)(altura)}{2}$

$A=\frac{(25)(12)}{2}$

$A=\frac{300}{2}$

$A=150~u^2$

Para realizar el calculo consideramos el lado a como la base.