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Cuáles son los supuestos o hipótesis de la programación lineal

Un modelo de programación lineal requiere cumplir con cinco supuestos: certeza, proporcionalidad, aditividad, divisibilidad y no negatividad.

Supuesto 1. Certeza

El primer supuesto implica que los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones se conocen con seguridad y, además, ninguno de ellos cambia durante el periodo de planeación considerado en el problema.

Por ejemplo, supongamos que un productor de sillones de descanso (Sn) y de sillas ejecutivas (Sa) requiere de 7.2 horas hombre para producir un sillón de descanso y de 9 horas hombre para producir una silla ejecutiva y dispone de un total de 1 080 horas hombre semanales.

En este caso la restricción de mano de obra se escribe de la siguiente manera:

7.2Sn+9Sa\leq1~080

El productor está seguro del tiempo que cada producto requiere para ser fabricado, no tiene prevista la compra de maquinaria que agilice la producción, tampoco se ha propuesto un nuevo método de trabajo que mejore los tiempos de producción.

Los tiempos requeridos de cada uno de los dos productos se conocen y permanecen constantes durante el periodo de planeación.

Supuesto 2. Proporcionalidad

En el caso de las restricciones se tiene que cada incremento (decremento) de a unidades en el nivel de utilización de un recurso escaso corresponde a un incremento (decremento) unitario en el nivel de la actividad.

Retomando el ejemplo del productor de sillones de descanso y sillas ejecutivas podemos verificar en la restricción de mano de obra que la producción de una silla ejecutiva requiere de 9 horas hombre (9\times1), la producción de 2 sillas ejecutivas requiere de 18 horas hombre (9\times2), la producción de 3 sillas ejecutivas requiere de 27 horas hombre (9\times3) y, así sucesivamente.

Es decir que, se tiene un incremento de 9 horas hombre en el nivel de utilización de la mano de obra semanal disponible asociado a un incremento unitario en la cantidad de sillas ejecutivas producidas.

En el caso de la función objetivo se tiene que cada incremento (decremento) de a unidades en el valor de la función objetivo está asociado a un incremento (decremento) unitario en el nivel de la actividad.

Si el productor obtiene una utilidad de 14 400 pesos por cada sillón de descanso y de 18 000 pesos por cada silla ejecutiva, entonces, escribimos esta función objetivo de la siguiente manera:

Max~U=14~400Sn+18~000Sa

Y tenemos que una silla ejecutiva reporta una utilidad de 18 000 pesos (18~000\times1), 2 sillas ejecutivas una utilidad de 36 000 pesos (18~000\times2), 3 sillas ejecutivas una utilidad de 54 000 pesos (18~000\times3) y, así sucesivamente.

El productor incrementa su utilidad en 18 000 pesos por cada silla ejecutiva adicional que fabrica y vende.

Supuesto 3. Aditividad

El total de las actividades es igual a la suma de las actividades individuales para la función objetivo y las restricciones.

Nuevamente, podemos utilizar el ejemplo del productor de sillones de descanso y de sillas ejecutivas.

Supongamos que se producen 82 sillones de descanso y 40 sillas ejecutivas, al sustituir ambos valores en la restricción de mano de obra tendremos un sobrante de 129.6 horas hombre semanales dado que la producción de 82 sillones ejecutivos solamente requiere 590.4 horas hombre y la producción de 40 sillas ejecutivas requiere de 360 horas hombre.

7.2Sn+9Sa\leq1~080

7.2(82)+9(40)\leq1~080

950.4\leq1~080

Si se producen 90 y 48 unidades de sillones de descanso y de sillas ejecutivas, respectivamente, tendremos un nivel de utilización del 100% del recurso, es decir, no tendremos horas hombre sobrantes

Dicho de otro modo, no podremos disponer de horas hombre para la producción de un tercer producto, tampoco para una unidad adicional de cualquiera de los dos productos considerados, hemos agotado las horas hombre semanales disponibles.

De manera similar podemos analizar la función objetivo, si producimos 82 sillones de descanso y 40 sillas ejecutivas las utilidades individuales son 1 180 800 pesos y 720 000 pesos, respectivamente.

Max~U=14~400Sn+18~000Sa

Max~U=14~400(82)+18~000(40)

Max~U=1~180~800+720~000

Max~U=1~900~800~pesos

Las contribuciones individuales a la utilidad se suman para calcular la utilidad total.

Supuesto 4. Divisibilidad

Este supuesto establece que los valores de las variables de decisión pueden ser fraccionarios.

Por ejemplo, si el productor decide fijar la producción semanal de sillas ejecutivas en 70 unidades tendremos que 630 horas hombre se consumirán en esta actividad, restando 450 horas hombre de las 1 080 disponibles.

Lo que implica que la producción de sillones de descanso será de cuando mucho 62.5 unidades:

\frac{450~horas~hombre~disponibles}{7.2~horas~hombre~para~producir~un~sill\acute{o}n}=62.5~sillones~semanales

Es decir que, en una semana se producen 62 sillones de descanso y, además, se tiene un 50% de avance en la producción de un sillón de descanso adicional que se debe interpretar como trabajo en proceso que será completado en la siguiente semana.

En ocasiones los valores fraccionarios no tienen sentido, por ejemplo, la adquisición de productos terminados como muebles, electrodomésticos, automóviles, barcos, etc., en este caso se debe recurrir a la programación entera que consiste establecer la restricción en la que una o más variables de decisión deben ser enteras.

Supongamos que un minorista compra los sillones de descanso y las sillas ejecutivas para venderlas al consumidor final, el minorista no deseara comprar media silla ni un tercio de sillón.

Supuesto 5. No negatividad

El último supuesto establece que los valores que tomen las variables de decisión deben ser positivos o igual a cero.

Por ejemplo, el productor no puede fabricar un número negativo de sillones o de sillas y, el minorista no puede realizar la compra-venta de un número negativo de sillones o sillas.

Entonces, el modelo utilizado como ejemplo debe considerar las condiciones de no negatividad:

Sn,~Sa\geq0

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Cómo citar

Editor. (19 julio 2020). Cuáles son los supuestos o hipótesis de la programación lineal. Celeberrima.com. Última actualización el 09 marzo 2022.