Las tres palabras son válidas, pero tienen diferentes significados. Ay es una interjección que expresa dolor o pena.
Ejemplos:
- ¡Ay del que se atreva a competir conmigo!
- ¡Ay, me dolió!
- ¡Ay del que pierda la esperanza!
- ¡Ay de mí!
- ¡Ay, me estás pisando!
Ahí es un adverbio demostrativo que significa «en ese lugar o a ese lugar».
Ejemplos:
- Se va por ahí un rato.
- Vamos por ahí a caminar.
- Ahí se conocieron y después se hicieron amigos.
- Vivo ahí.
- Lo verá ahí mismo.
- Llegaron, ya están ahí.
Hay corresponde a la forma impersonal del verbo haber.
Ejemplos:
- Hay hombres que no controlan sus ambiciones.
- Hay muchas razones por las que no estoy de acuerdo.
- Hay mucho humo en la ciudad.
- En la llanura hay muchas lagunas.
- No hay noticias del nuevo proveedor.