Raíces números complejos forma polar o trigonométrica – Definición y ejemplos

La raíz n de un número complejo en su forma polar o trigonométrica se obtiene con la raíz n del módulo y dividiendo el argumento más k veces 360º entre n.

La raíz u de un número complejo en su forma polar o trigonométrica se define como:

$u^n=z$

Lo que es equivalente a:

$u=\sqrt[n]{z}$

La fórmula para calcular las raíces de un número complejo es la siguiente:

$\sqrt[n]{r\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\theta}=\sqrt[n]{r}\hspace{0.2cm}cis \frac{\theta+k(360^\circ)}{n}$

Esto es válido para todo número natural n con k =0, 1, 2,…,(n-1)

En los siguientes ejemplos se obtiene la raíz n de los números complejos que se indican en cada ejemplo.

Ejemplo 1:

$z=16\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}210^\circ$ y $n=2$

Para k=0

$\sqrt{z}=\sqrt{16}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{210^\circ+0}{2}$

$\sqrt{z}=4\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}105^\circ$

Para k=1

$\sqrt{z}=\sqrt{16}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{210^\circ+360^\circ}{2}$

$\sqrt{z}=4\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}285^\circ$

Ejemplo 2:

$z=27\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}30^\circ$ y $n=3$

Para k=0

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{27}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{30^\circ+0}{3}$

$\sqrt[3]{z}=3\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}10^\circ$

Para k=1

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{27}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{30^\circ+360^\circ}{3}$

$\sqrt[3]{z}=3\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}130^\circ$

Para k=2

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{27}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{30^\circ+(2)(360^\circ)}{3}$

$\sqrt[3]{z}=3\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}250^\circ$

Ejemplo 3:

$z=7,776\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}300^\circ$ y $n=5$

Para k=0

$\sqrt[5]{z}=\sqrt[5]{7,776}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{300^\circ+0}{5}$

$\sqrt[5]{z}=6\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}60^\circ$

Para k=1

$\sqrt[5]{z}=\sqrt[5]{7,776}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{300^\circ+360^\circ}{5}$

$\sqrt[5]{z}=6\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}132^\circ$

Para k=2

$\sqrt[5]{z}=\sqrt[5]{7,776}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{300^\circ+(2)(360^\circ)}{5}$

$\sqrt[5]{z}=6\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}204^\circ$

Para k=3

$\sqrt[5]{z}=\sqrt[5]{7,776}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{300^\circ+(3)(360^\circ)}{5}$

$\sqrt[5]{z}=6\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}276^\circ$

Para k=4

$\sqrt[5]{z}=\sqrt[5]{7,776}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{300^\circ+(4)(360^\circ)}{5}$

$\sqrt[5]{z}=6\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}348^\circ$

Ejemplo 4:

$z=8\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}345^\circ$ y $n=3$

Para k=0

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{8}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{345^\circ+0}{3}$

$\sqrt[3]{z}=2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}115^\circ$

Para k=1

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{8}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{345^\circ+360^\circ}{3}$

$\sqrt[3]{z}=2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}235^\circ$

Para k=2

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{8}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{345^\circ+(2)(360^\circ)}{3}$

$\sqrt[3]{z}=2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}355^\circ$

Ejemplo 5:

$z=3\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}60^\circ$ y $n=2$

Para k=0

$\sqrt{z}=\sqrt{3}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{60^\circ+0}{2}$

$\sqrt{z}=\sqrt{3}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}30^\circ$

Para k=1

$\sqrt{z}=\sqrt{3}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{60^\circ+360^\circ}{2}$

$\sqrt{z}=\sqrt{3}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}210^\circ$

Ejemplo 6:

$z=81\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}280^\circ$ y $n=4$

Para k=0

$\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{81}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{280^\circ+0}{4}$

$\sqrt[4]{z}=3\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}70^\circ$

Para k=1

$\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{81}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{280^\circ+360^\circ}{4}$

$\sqrt[4]{z}=3\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}160^\circ$

Para k=2

$\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{81}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{280^\circ+(2)(360^\circ)}{4}$

$\sqrt[4]{z}=3\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}250^\circ$

Para k=3

$\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{81}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{280^\circ+(3)(360^\circ)}{4}$

$\sqrt[4]{z}=3\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}340^\circ$

Ejemplo 7:

$z=125\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}81^\circ$ y $n=3$

Para k=0

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{125}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{81^\circ+0}{3}$

$\sqrt[3]{z}=5\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}27^\circ$

Para k=1

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{125}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{81^\circ+360^\circ}{3}$

$\sqrt[3]{z}=5\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}147^\circ$

Para k=2

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{125}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{81^\circ+(2)(360^\circ)}{3}$

$\sqrt[3]{z}=5\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}267^\circ$

Ejemplo 8:

$z=49\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}135^\circ$ y $n=2$

Para k=0

$\sqrt{z}=\sqrt{49}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{135^\circ+0}{2}$

$\sqrt{z}=7\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}67.5^\circ$

Para k=1

$\sqrt{z}=\sqrt{49}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{135^\circ+360^\circ}{2}$

$\sqrt{z}=7\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}247.5^\circ$

Ejemplo 9:

$z=1,000\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}135^\circ$ y $n=3$

Para k=0

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{1,000}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{135^\circ+0}{3}$

$\sqrt[3]{z}=10\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}45^\circ$

Para k=1

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{1,000}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{135^\circ+360^\circ}{3}$

$\sqrt[3]{z}=10\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}165^\circ$

Para k=2

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{1,000}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{135^\circ+(2)(360^\circ)}{3}$

$\sqrt[3]{z}=10\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}285^\circ$

Ejemplo 10:

$z=16\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}356^\circ$ y $n=4$

Para k=0

$\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{16}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{356^\circ+0}{4}$

$\sqrt[4]{z}=2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}89^\circ$

Para k=1

$\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{16}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{356^\circ+360^\circ}{4}$

$\sqrt[4]{z}=2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}179^\circ$

Para k=2

$\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{16}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{356^\circ+(2)(360^\circ)}{4}$

$\sqrt[4]{z}=2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}269^\circ$

Para k=3

$\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{16}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\frac{356^\circ+(3)(360^\circ)}{4}$

$\sqrt[4]{z}=2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}359^\circ$

Cómo citar

Editor. (20 octubre 2019). Raíces números complejos forma polar o trigonométrica – Definición y ejemplos. Celeberrima.com. Última actualización el 08 marzo 2022.