Potencias números complejos forma polar o trigonométrica – Definición y ejemplos

La potencia n de un número complejo en su forma polar o trigonométrica se obtiene elevando a la n el módulo y sumando n veces el argumento.

La potencia n de un número complejo en su forma polar o trigonométrica se define como:

$(r\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\theta)^n=r^n\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}(n\theta)$

Esto es válido para todo número natural n.

En los siguientes ejemplos se obtiene la potencia n de los números complejos que se indican en cada ejemplo.

Ejemplo 1:

$z=2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}40^\circ$ y $n=2$

$z^2=2^2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}(2\cdot40^\circ)$

$z^2=4\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}80^\circ$

Ejemplo 2:

$z=4\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}15^\circ$ y $n=3$

$z^3=4^3\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}(3\cdot15^\circ)$

$z^3=64\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}45^\circ$

Ejemplo 3:

$z=\sqrt{2}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}60^\circ$ y $n=2$

$z^2=\sqrt{2}^2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}(2\cdot60^\circ)$

$z^2=2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}120^\circ$

Ejemplo 4:

$z=5\sqrt{2}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}150^\circ$ y $n=2$

$z^2=(5\sqrt{2})^2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}(2\cdot150^\circ)$

$z^2=50\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}300^\circ$

Ejemplo 5:

$z=2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}80^\circ$ y $n=3$

$z^3=2^3\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}(3\cdot80^\circ)$

$z^3=8\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}240^\circ$

Ejemplo 6:

$z=\sqrt[4]{5}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}30^\circ$ y $n=4$

$z^4=(\sqrt[4]{5})^4\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}(4\cdot30^\circ)$

$z^4=5\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}120^\circ$

Ejemplo 7:

$z=\frac{1}{2}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}50^\circ$ y $n=4$

$z^4=\left(\frac{1}{2}\right)^4\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}(4\cdot50^\circ)$

$z^4=\frac{1}{16}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}200^\circ$

Ejemplo 8:

$z=\frac{1}{\sqrt{3}}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}130^\circ$ y $n=2$

$z^2=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}(2\cdot130^\circ)$

$z^2=\frac{1}{3}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}260^\circ$

Ejemplo 9:

$z=6\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}110^\circ$ y $n=3$

$z^3=6^3\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}(3\cdot110^\circ)$

$z^3=216\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}330^\circ$

Ejemplo 10:

$z=\sqrt{2}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}70^\circ$ y $n=4$

$z^4=\sqrt{2}^4\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}(4\cdot70^\circ)$

$z^4=4\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}280^\circ$