Mínimo común múltiplo (m.c.m.) – Definición y ejemplos

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor número que contiene un número exacto de veces a cada uno de los números en cuestión. Su aplicación más frecuente es expresar fracciones con un denominador común para poderlas sumar o restar. Por ejemplo, consideremos 3 y 4, el mínimo común múltiplo es 12 ya que contiene a 3 cuatro veces (3 × 4 = 12) y a 4 tres veces (4 × 3 = 12).

Índice

• Múltiplos de un número
• Múltiplos comunes de dos o más números
• Mínimo común múltiplo
• Procedimiento listando múltiplos
• Procedimiento descomponiendo en factores primos
• Notación exponencial
• Errores frecuentes
• Fórmula Excel
• Ejemplos
• Ejercicios con respuesta
• Problemas con respuesta

Múltiplos de un número

Los múltiplos de un número resultan de multiplicar dicho número por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, etc. A continuación se listan los primeros nueve múltiplos de 5:

• 5 × 1 = 5
• 5 × 2 = 10
• 5 × 3 = 15
• 5 × 4 = 20
• 5 × 5 = 25
• 5 × 6 = 30
• 5 × 7 = 35
• 5 × 8 = 40
• 5 × 9 = 45

Múltiplos comunes de dos o más números

Los múltiplos comunes de dos o más números resultan del producto de de dichos números por por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, etc. Si listamos los múltiplos de 3 tenemos 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, etc., y si listamos los múltiplos del 4 tenemos 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, etc. Luego, los múltiplos comunes de 3 y 4 son 12, 24, 36, etc.

Mínimo común múltiplo

Si los múltiplos comunes de 3 y 4 son 12, 24, 36, 48, etc., entonces el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12 porque es el menor de estos números, lo cual se escribe como:

m.c.m. (3, 4) = 12, y se lee el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12.

Entonces, el mínimo común múltiplo de dos o más números enteros es el más pequeño de los múltiplos que tienen en común. O, alternativamente, es el número más pequeño que es divisible entre dichos números. Por divisible debemos entender que el residuo que resulta es igual a cero.

12 ÷ 4 = 3 y 12 ÷ 3 = 4, en ambos casos el residuo es igual a cero, se trata de dos divisiones exactas.

Procedimiento listando múltiplos

Listar los múltiplos de todos los números para determinar el mínimo común múltiplo resulta engorroso, entonces, se recomienda lo siguiente:

1. Se listan los múltiplos del número más grande.
2. El proceso se detiene cuando se encuentra un múltiplo que es divisible entre los otros números. Este múltiplo es el mínimo común múltiplo.

Ejemplo 1: Encontrar el mínimo común múltiplo de 3 y 4

Listamos los múltiplos de número más grande (4) hasta encontrar uno que sea divisible entre el número más pequeño (3).

4 × 1 = 4, pero no es divisible entre 3.

4 × 2 = 8, tampoco es divisible entre 3.

4 × 3 = 12, es divisible entre 3, 12 ÷ 3 = 4.

m.c.m. (3, 4) = 12

Ejemplo 2: Encontrar el mínimo común múltiplo de 3, 6 y 8.

El proceso se puede aplicar para encontrar el mínimo común múltiplo de más de dos números.

Listamos los múltiplos del número más grande:

8 × 1 = 8, no es múltiplo de 3, tampoco lo es de 6.

8 × 2 = 16, no es múltiplo de 3, tampoco lo es de 6.

8 × 3 = 24, es múltiplo de 3 y de 6, 24 ÷ 3 = 8 y 24 ÷ 6 = 4.

m.c.m. (3, 6, 8) = 24

Descomposición en factores primos

El mínimo común múltiplo se puede encontrar descomponiendo los números en factores primos, este método resulta más práctico y ágil cuando se trata de números más grandes.

Primero, se descompone cada uno de los números en factores primos, luego, se calcula el mínimo común múltiplo realizando una multiplicación en la que cada factor primo aparece tantas veces como el mayor número de veces que aparece en cualquiera de las factorizaciones.

Ejemplo 3: Determinar el m.c.m. de 36 y 80.

Al descomponer cada uno de los números en factores primos se tiene que:

36 = 2 × 2 × 3 × 3

80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5

El primer factor primo es 2 y se repite 2 veces en la factorización de 36 y 4 veces en la factorización de 80, entonces, el m.c.m. de 36 y 80 tiene a 2 como factor 4 veces.

El siguiente factor primo es 3 y solamente aparece 2 veces en la factorización de 36, luego, el m.c.m. de 36 y 80 tiene a 3 como factor 2 veces.

El factor primo 5 solamente aparece una vez en la factorización de 80, así el m.c.m. de 36 y 80 tiene a 5 como factor una vez.

m.c.m. (36, 80)= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5

m.c.m. (36, 80)= 720

Se puede comprobar que 720 es divisible entre 36 y 80:

720 ÷ 36 = 20 y 720 ÷ 80 = 9

Notación exponencial

En el ejemplo anterior se puede utilizar la notación exponencial para determinar de manera ágil el número de veces que se repite un factor. Por ejemplo:

36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 2⁴ × 5¹

El exponente nos indica el número de veces que se repite el factor primo o base. Así, se puede leer que el mayor número de veces que se repite cada uno de los factores primos 2, 3 y 5 son 4, 2 y 1, respectivamente.

Errores frecuentes

Un error frecuente es determinar el mínimo común múltiplo multiplicando los números, por ejemplo, al multiplicar 36 por 80 se tiene 2880, pero este no es el m.c.m. (36, 80) según se mostró en el ejemplo 3.

Una variante de este error es multiplicar todos los factores primos de un número por todos los factores primos del otro número:

2² × 3² × 2⁴ × 5¹ = 2880

Fórmula Excel

Además, es posible utiliza Excel para determinar el mínimo común múltiplo, la fórmula es la siguiente:

=M.C.M(número1, [número2], …)

Los argumemtos de la fórmula son los números a partir de los cuales se desea calcular el mínimo común múltiplo. Aunque el uso de la fórmula no sustituye el apredizaje de los conceptos y procedimientos asociados al mínimo común múltiplo, es un recurso que facilita la comprobación de resultados.

Ejemplos

Ejemplo 4:

Considere a 5 y 15.

Descomponiendo en factores primos:

5 es número primo

15 = 3 × 5

Calculando el mínimo común múltiplo:

mcm (5, 15) = 3 × 5 = 15

Ejemplo 5:

Considere 3, 6 y 9.

Descomponiendo en factores primos:

3 es número primo

6 = 2 × 3

9 = 3 × 3

Calculando el mínimo común múltiplo:

mcm (3, 6, 9) = 2 × 3 × 3 = 18

Ejemplo 6:

Considere 4 y 5.

Descomponiendo en factores primos:

5 es número primo

4 = 2 × 2

Calculando el mínimo común múltiplo:

mcm (4, 5) = 2 × 2 × 5 = 20

Ejemplo 7:

Considere a 8 y 12.

Descomponiendo en factores primos:

8 = 2 × 2 × 2

12 = 2 × 2 × 3

Calculando el mínimo común múltiplo:

mcm (8, 12) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24

Ejemplo 8:

Considere a 12 y 18.

Descomponiendo en factores primos:

12 = 2 × 2 × 3

18 = 2 × 3 × 3

Calculando el mínimo común múltiplo:

mcm (12, 18) = 2 × 2 × 3 × 3 = 36

Ejemplo 9:

Considere 3, 5 y 9.

Descomponiendo en factores primos:

3 y 5 son números primos

9 = 3 × 3

Calculando el mínimo común múltiplo:

mcm (3, 5, 9) = 3 × 3 × 5 = 45

Ejemplo 10:

Considere 4 y 6.

Descomponiendo en factores primos:

4 = 2 × 2

6 = 2 × 3

Calculando el mínimo común múltiplo:

mcm (4, 6) = 2 × 2 × 3 = 12

Ejemplo 11:

Considere 2, 6 y 9.

Descomponiendo en factores primos:

2 es número primo

6 = 2 × 3

9 = 3 × 3

Calculando el mínimo común múltiplo:

mcm (2, 6, 9) = 2 × 3 × 3 = 18

Ejemplo 12:

Considere a 8 y 32, el m.c.m. es 32 por que contiene a 8 cuatro veces y a sí mismo una vez.

Descomponiendo en factores primos:

8 = 2 × 2 × 2

32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Calculando el mínimo común múltiplo:

mcm (8, 32) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Ejemplo 13:

Considere a 6 y 20, el m.c.m. es 60 ya que contiene a 6 diez veces y a 20 tres veces.

Descomponiendo en factores primos:

6 = 2 × 3

60 = 2 × 2 × 3 × 5

Calculando el mínimo común múltiplo:

mcm (6, 60) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60

Ejercicios con respuesta

Calcular el mínimo común múltiplo de los siguientes números:

1. 28 y 35. R. 140
2. 18 y 24. R. 72
3. 12 y 16. R. 48
4. 30 y 45. R. 90
5. 8 y 12. R. 24
6. 2, 3 y 4. R. 12
7. 12 y 20. R. 60
8. 8 y 10. R. 40
9. 3 y 8. R. 24

Problemas con respuesta

Los siguientes problemas ilustran la aplicación del mínimo común múltiplo a problemas prácticos.

Problema 1. Todas las mañanas dos amigos se reúnen en un parque para hacer un poco de deporte, Carlos da una vuelta al perímetro del parque en 3 minutos, Gabriel tarda 4 minutos para completar una vuelta. Si ambos amigos comienzan a correr al mismo tiempo desde el mismo lugar, ¿cuánto tardan en volver a coincidir en el punto del que partieron? ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno de ellos? R. Coinciden después de 12 minutos, Carlos ha dado 4 vueltas al parque y Gabriel 3 vueltas.

Problema 2. En un hospital una enfermera toma la temperatura de un paciente cada 60 minutos y otra enfermera revisa la presión arterial del mismo paciente cada 90 minutos. Suponga que ambas enfermeras están con el paciente justo ahora, ¿cuánto tiempo pasará para que vuelvan a coincidir en la habitación del paciente? R. 180 minutos, es decir, dentro de 3 horas.

Problema 3. Una vendedora de hot dogs compra paquetes de pan de 8 unidades y paquetes de salchichas de 12 unidades, ¿cuántos paquetes de pan y cuántos paquetes de salchichas debe comprar para tener el mismo número de panes y de salchichas? R. Debe comprar 3 paquetes de pan y 2 de salchichas para tener 24 unidades de pan y de salchichas.

Problema 4. Un esposo trabaja 6 días seguidos y luego tiene un día libre, su esposa trabaja 5 días seguidos y luego tiene un día libre. Hoy es el día de descanso de ambos, ¿cuántos días pasarán para que su día libre vuelva a coincidir? R. 30 días.

Problema 5. Considere una baldosa rectangular de 5 unidades de longitud por 7 unidades de longitud, ¿cuál es el número mínimo de baldosas para cubrir un área cuadrada? R. Se necesitan 35 baldosas.