El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor número que los divide a todos exactamente. Su aplicación más común es la simplificación de fracciones. Por ejemplo, 12 y 16 son divisibles por 2 y 4, no existe un número mayor a 4 que los divida exactamente a ambos, entonces, 4 es el m.c.d.
Índice
- Qué son los divisores de un número
- Qué son los divisores comunes de dos o más números
- Qué es el máximo común divisor
- Cómo calcular el máximó común divisor listando factores
- Cómo calcular el máximo común divisor descomponiendo en factores primos
- Calcular el máximo común divisor con fórmula de Excel
- Ejemplos máximo común divisor
- Ejercicios con respuesta máximo común divisor
- Problemas con respuesta máximo común divisor
Qué son los divisores de un número
Para encontrar los divisores de un número se listan los factores del número, es decir, los pares de números que al multiplicarse dan como resultado dicho número. Por ejemplo, el número 21 se puede expresar como el producto de 1 y 21 o de 3 y 7, entonces, sus factores son 1, 3, 7 y 21.
1 × 21 = 21
3 × 7 = 21
Los factores de un número también son sus divisores. El residuo en cualquiera de las cuatro divisiones es igual a cero.
21 ÷ 1 = 21
21 ÷ 3 = 7
21 ÷ 7 = 3
21 ÷ 21 = 1
Qué son los divisores comunes de dos o más números
Los números 21 y 49 tienen a 7 como divisor común ya que:
21 ÷ 7 = 3
49 ÷ 7 = 7
Los números 42 y 70 tienen a 2 y 7 como divisores comunes, dividiendo entre 2 se tiene:
42 ÷ 2 = 21 y 70 ÷ 2 = 35
Y, dividiendo entre 7 se tiene:
42 ÷ 7 = 6 y 70 ÷ 7 = 10
Qué es el máximo común divisor
El máximo común divisor de dos o más números enteros es el factor más grande que dichos números tienen en común. Por ejemplo, si, como se describió en el apartado anterior, 2 y 7 son divisores comunes de 42 y 70, el más grande de estos divisores es 7, luego, el máximo común divisor de 42 y 70 es igual a 7, lo se puede escribir como:
m.c.d (42, 70) = 7, y se lee el máximo común divisor de 42 y 70 es 7.
Es decir, 7 es el número más grande que divide a 42 y 70 exactamente, lo que quiere decir que el residuo de ambas divisiones es igual a cero.
Cómo calcular el máximó común divisor listando factores
Para determinar el máximo común divisor de dos o más números se pude recurrir a listar los factores de los números en cuestión y, posteriormente, identificar el más grande de los factores en común.
Ejemplo 1: Calcular el máximo común divisor de 12 y 20.
Listamos los factores de ambos números, para se encuentran los pares de números que al multiplicarse dan como resultado 12 y 20.
Para 12: 1 × 12 = 12, 2 × 6 = 12, 3 × 4 = 12
Para 20: 1 × 20 = 20, 2 × 10 = 20, 4 × 5 = 20
Entonces, los factores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12 y los factores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20, luego, el máximo común divisor es 4, lo que podemos expresar como:
m.c.d (12, 20) = 4
Entonces, 4 es el número más grande que divide a 12 y 20 exactamente, es decir, con residuo igual a cero.
Cómo calcular el máximo común divisor descomponiendo en factores primos
Cuando se trata de números grandes, el procedimiento de listar factores resulta arduo, una alternativa es descomponer los números en factores primos y calcular el máximo común divisor como el producto de los factores primos comunes.
Ejemplo 2: Calcular el máximo común divisor de 120 y 96
Descomponemos 120 y 96 en factores primos:
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
El máximo común divisor se calcula como el producto de los factores primos comunes a las dos descomposiciones. El factor primo 2 es común a las dos descomposiciones 3 veces, entonces, es factor del máximo común divisor 3 veces y el factor primo 3 es común a las dos descomposiciones 1 vez, por lo tanto, solamente aparece como factor del máximo común divisor una vez.
m.c.d (96, 120) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24
El factor primo 5 no es factor de 96, entonces, no es común.
Dado que todo factor es un divisor, al máximo común divisor también se le conoce como máximo factor común (mfc), así, se tiene que:
mfc (96, 120) = 24, y se lee el máximo factor común de 96 y 120 es 24.
Calcular el máximo común divisor con fórmula de Excel
Excel permite calcular el máximo común divisor, la fórmula es la siguiente:
=M.C.D(número1, [número2], …)
Los argumemtos de la fórmula son los números a partir de los cuales se desea calcular el máximo común divisor. Esta fórmula facilita verificar los resultados obtenidos, o agilizar los cálculos cuando ya se conocen los conceptos y procedimientos relacionados con el máximo común divisor.
Ejemplos máximo común divisor
Ejemplo 1:
Calcular el máximo común divisor de 12 y 24.
Descomponiendo en factores primos:
12 = 2 × 2 × 3
24 = 2 × 2 × 2 × 3
Luego, se calcula el máximo común divisor como un producto de los factores primos comunes a las descomposiciones:
mcd (12, 24) = 2 × 2 × 3 = 12
Ejemplo 2:
Calcular el máximo común divisor de 30 y 75.
Descomponiendo en factores primos:
30 = 2 × 3 × 5
75 = 3 × 5 × 5
Luego, se calcula el máximo común divisor como un producto de los factores primos comunes a las descomposiciones:
mcd (30, 75) = 3 × 5 = 15
Ejemplo 3:
Calcular el máximo común divisor de 18 y 27.
Descomponiendo en factores primos:
18 = 2 × 3 × 3
27 = 3 × 3 × 3
Luego, se calcula el máximo común divisor como un producto de los factores primos comunes a las descomposiciones:
mcd (18, 27) = 3 × 3 = 9
Ejemplo 4:
Calcular el máximo común divisor de 16 y 30.
Descomponiendo en factores primos:
16 = 2 × 2 × 2 × 2
30 = 2 × 3 × 5
Luego, se calcula el máximo común divisor como un producto de los factores primos comunes a las descomposiciones:
mcd (16, 30) = 2
Ejemplo 5:
Calcular el máximo común divisor de 18 y 24.
Descomponiendo en factores primos:
18 = 2 × 3 × 3
24 = 2 × 2 × 2 × 3
Luego, se calcula el máximo común divisor como un producto de los factores primos comunes a las descomposiciones:
mcd (18, 24) = 2 × 3 = 6
Ejemplo 6:
Calcular el máximo común divisor de 40 y 60.
Descomponiendo en factores primos:
40 = 2 × 2 × 2 × 5
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Luego, se calcula el máximo común divisor como un producto de los factores primos comunes a las descomposiciones:
mcd (40, 60) = 2 × 2 × 5 = 20
Ejemplo 7:
Calcular el máximo común divisor de 28 y 35.
Descomponiendo en factores primos:
28 = 2 × 2 × 7
35 = 5 × 7
Luego, se calcula el máximo común divisor como un producto de los factores primos comunes a las descomposiciones:
mcd (28, 35) = 7
Ejercicios con respuesta máximo común divisor
Calcular el mínimo común múltiplo de los siguientes números:
- 20 y 24. R. 4
- 450 y 360. R. 90
- 104, 143 y 169. R. 13
- 68, 136 y 221. R. 17
- 88 y 112. R. 8
- 66, 96 y 108. R. 6
- 84, 147 y 189. R. 21
- 84, 126 y 196. R. 14
Problemas con respuesta máximo común divisor
Problema 1. Una florería tiene 48 flores rojas, 96 flores amarillas y 192 flores rosas. Se desea preparar la mayor cantidad de arreglos florales con la condición de que cada uno tenga exactamente la misma cantidad de flores de cada color. ¿Cuántos arreglos florales se prepararán? ¿Cuántas flores de cada color tendrá un arreglo floral? R. Se pueden preparar 48 arreglos, cada uno con 1 flor roja, 2 flores amarillas y 4 flores rosas.
Problema 2. Una panadería desea donar cierta cantidad de pan cada semana a una organización sin fines de lucro, esta semana se tienen 551 panes blancos y 319 panes de dulce. ¿Cuál es la cantidad de bolsas que se pueden preparar con la misma cantidad de panes blancos y panes de dulce? ¿Cuántos panes de cada tipo habrá en cada bolsa? R. 29 bolsas con 19 panes blancos y 11 panes de dulce.