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Cambio de variable en ecuaciones de forma cuadrática

Para resolver ecuaciones cuadráticas se dispone de varios métodos: la propiedad del producto cero, la propiedad de la raíz cuadrada, completar el cuadrado y utilizar la fórmula general. En ocasiones, las ecuaciones tiene forma cuadrática y, entonces, se pueden aplicar los citados métodos después de realizar un cambio de variable.

Ejemplo:

\left(3x^{2}-5\right)^{2}+4\left(3x^{2}-5\right)+4=0

Se define u como:

u=3x^{2}-5

Para el cambio de variable, se sustituye en la ecuación original:

u^{2}+4u+4=0

Esta ecuación tiene la forma de un trinomio cuadrado perfecto, entonces, se factoriza:

\left(x+2\right)\left(x+2\right)=0

Al aplicar la propiedad del producto cero se tiene que:

x_{1}=x_{2}=-2

Si u=3x^{2}-5, entonces, se tiene que:

-2=3x^{2}-5

Se reescribe la ecuación intercambiando miembros:

3x^{2}-5=-2

Se suma 5 en ambos miembros de la igualdad:

3x^{2}-5+5=-2+5

3x^{2}=3

Ambos miembros de la ecuación se dividen entre 3:

\frac{3x^{2}}{3}=\frac{3}{3}

x^{2}=1

Se aplica la propiedad de la raíz cuadrada:

x=\pm\sqrt{1}

Se calcula la raíz cuadrada de 1:

x=\pm1

Entonces, las soluciones de la ecuación son:

x_{1}=1

x_{2}=-1

Se tiene que el conjunto solución es \{-1,1\}, estas soluciones son válidas para la ecuación original.

Comprobación:

La solución x_{1}=1, se sustituye en la ecuación original:

\left(3x^{2}-5\right)^{2}+4\left(3x^{2}-5\right)+4=0

\left(3\left(1\right)^{2}-5\right)^{2}+4\left(3\left(1\right)^{2}-5\right)+4=0

Se realizan las operaciones dentro de los paréntesis:

\left(-2\right)^{2}+4\left(-2\right)+4=0

4-8+4=0

0=0

La igualdad se cumple, entonces, la solución se ha comprobado. Se procede de manera similar cuando x_{2}=-1:

\left(3\left(-1\right)^{2}-5\right)^{2}+4\left(3\left(-1\right)^{2}-5\right)+4=0

Se realizan las operaciones dentro de los paréntesis:

\left(-2\right)^{2}+4\left(-2\right)+4=0

4-8+4=0

0=0

La igualdad también se cumple para x_{2}=-1. Entonces, se ha comprobado que el conjunto solución para la ecuación original es \{-1,1\}.

Ejemplo:

x^{\frac{2}{3}}-7x^{\frac{1}{3}}+10=0

Se define p como:

p=x^{\frac{1}{3}}

Se sustituye p en la ecuación original para realizar el cambio de variable:

p^{2}-7p+10=0

Se factoriza la ecuación cuadrática:

\left(p-2\right)\left(p-5\right)=0

Se aplica la propiedad del producto cero para determinar los valores de p:

p_{1}=2

p_{2}=5

Si p=x^{\frac{1}{3}} y p_{1}=2, entonces:

x^{\frac{1}{3}}=2

Se elevan ambos miembros al cubo:

x_{1}=8

La otra solución se calcula de manera similar, dado que p_{2}=5, entonces:

x^{\frac{1}{3}}=5

Se elevan ambos miembros al cubo:

x_{2}=125

Se tiene que el conjunto solución de la ecuación original es \{8,125\}.

Comprobación:

La solución x_{1}=8, se sustituye en la ecuación original:

x^{\frac{2}{3}}-7x^{\frac{1}{3}}+10=0

8^{\frac{2}{3}}-7\left(8\right)^{\frac{1}{3}}+10=0

Se simplifica aplicando las propiedades de los exponentes y de los radicales:

4-7\left(2\right)+10=0

4-14+10=0

0=0

La igualdad se cumple, entonces, se ha comprobado que x_{1}=8 es solución.

De manera similar, se procede con x_{2}=125:

x^{\frac{2}{3}}-7x^{\frac{1}{3}}+10=0

125^{\frac{2}{3}}-7\left(125\right)^{\frac{1}{3}}+10=0

Se simplifica:

25-7\left(5\right)+10=0

25-35+10=0

0=0

Se concluye que x_{2}=125 es solución, puesto que la igualdad se cumple.

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Cómo citar

Editor. (19 noviembre 2023). Cambio de variable en ecuaciones de forma cuadrática. Celeberrima.com. Última actualización el 19 noviembre 2023.