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Eventos colectivamente exhaustivos – Definición y ejemplos

Se conoce como eventos colectivamente exhaustivos al conjunto de eventos que incluye todos los resultados posibles de un experimento. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda al aire esperamos que salga cara o cruz y, decimos que son colectivamente exhaustivos ya que representan todos los resultados posibles del lanzamiento de una moneda.

Ejemplos:

Lanzamiento de una moneda

Sabemos que al lanzar una moneda ocurrirá uno, y solo uno, de dos posibles resultados, así podemos calcular la probabilidad de que salga cara o cruz:

P(cara)=\frac{Cu\acute{a}ntas~caras~hay~en~una~moneda}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~lanzar~una~moneda}

P(cara)=\frac{1}{2}=0.5

P(cruz)=\frac{Cu\acute{a}ntas~cruces~hay~en~una~moneda}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~lanzar~una~moneda}

P(cruz)=\frac{1}{2}=0.5

Si sumamos la probabilidad de sacar una cara y la probabilidad de sacar una cruz, tenemos que:

P(cara)+P(cruz)=1

Este resultado nos dice que se trata de eventos colectivamente exhaustivos puesto que una de las propiedades de la probabilidad establece que: La suma de las probabilidades de todos los eventos o resultados posibles es igual a uno. Esto significa que siempre se espera la ocurrencia de un evento o resultado. En nuestro ejemplo cara o cruz.

Dicho de otro modo, la probabilidad de sacar cara o cruz después de lanzar una moneda es igual a 1.

P(cara~o~cruz)=P(cara)+P(cruz)=1

Lanzamiento de un dado

Otro ejemplo clásico y sencillo pero que facilita comprender el concepto de eventos colectivamente exhaustivos es el lanzamiento de un dado.

Sabemos que un dado tiene seis caras y en cada una de ellas hay un cierto número de puntos que las identifica. Es bien conocido que el número de puntos van de 1 a 6.

En este caso, tenemos 6 resultados posibles pero solamente uno de ellos ocurrirá, por lo tanto, su probabilidad se puede calcular utilizando el método clásico:

P(1)=\frac{Cu\acute{a}ntos~n\acute{u}meros~uno~hay~en~un~dado}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~lanzar~un~dado}

P(1)=\frac{1}{6}

P(2)=\frac{Cu\acute{a}ntos~n\acute{u}meros~dos~hay~en~un~dado}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~lanzar~un~dado}

P(2)=\frac{1}{6}

P(3)=\frac{Cu\acute{a}ntos~n\acute{u}meros~tres~hay~en~un~dado}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~lanzar~un~dado}

P(3)=\frac{1}{6}

P(4)=\frac{Cu\acute{a}ntos~n\acute{u}meros~cuatro~hay~en~un~dado}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~lanzar~un~dado}

P(4)=\frac{1}{6}

P(5)=\frac{Cu\acute{a}ntos~n\acute{u}meros~cinco~hay~en~un~dado}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~lanzar~un~dado}

P(5)=\frac{1}{6}

P(6)=\frac{Cu\acute{a}ntos~n\acute{u}meros~seis~hay~en~un~dado}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~lanzar~un~dado}

P(6)=\frac{1}{6}

Las probabilidades anteriores corresponden a todos los posibles resultados que se obtienen después de arrojar un dado. La probabilidad de sacar uno o dos o tres o cuatro o cinco o seis después de lanzar un dado es igual a 1.

P(1~o~2~o~3~o~4~o~5~o~6)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)

P(1~o~2~o~3~o~4~o~5~o~6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}

P(1~o~2~o~3~o~4~o~5~o~6)=\frac{1+1+1+1+1+1}{6}=\frac{6}{6}=1

Sacar una carta de la baraja inglesa

Consideremos la baraja inglesa que consiste de 4 palos —espadas, corazones, rombos y tréboles— cada uno con 13 cartas, en total se tienen 52 cartas en la baraja (4X13=52). Las primeras 10 cartas están numeradas del 1 al 10, y las siguientes tres se identifican por una letra J, Q y K que en inglés aluden a Joker, Queen y King.

Vamos a suponer que sacamos una carta de la baraja al azar, entonces, los siguientes son ejemplos de eventos colectivamente exhaustivos:

1.- Sacar una carta de número o una carta de letra. La probabilidad de ocurrencia es 1 porque cualquier carta que saquemos tendrá un número o tendrá una letra.

Hay 40 cartas marcadas con un número, 12 cartas marcadas con una letra y 52 cartas en total.

P(n\acute{u}mero~o~letra)=P(n\acute{u}mero)+P(letra)

P(n\acute{u}mero~o~letra)=\frac{40}{52}+\frac{12}{52}

P(n\acute{u}mero~o~letra)=\frac{40+12}{52}=\frac{52}{52}=1

2.- Sacar una carta negra o una carta roja. La probabilidad de ocurrencia es 1 porque cualquier carta que saquemos será roja o será negra.

Hay 26 cartas rojas, 26 cartas negras y 52 cartas en total.

P(roja~o~negra)=P(roja)+P(negra)

P(roja~o~negra)=\frac{26}{52}+\frac{26}{52}

P(roja~o~negra)=\frac{26+26}{52}=\frac{52}{52}=1

3.- Sacar una carta de corazones o una carta de no corazones. La probabilidad de ocurrencia es 1 porque cualquier carta que saquemos será de corazones o de no corazones (espadas, rombos y tréboles).

Hay 13 cartas de corazones y 39 cartas de no corazones. También, sabemos que en total hay 52 cartas en la baraja.

P(corazones~o~no~corazones)=P(corazones)+P(no~corazones)

P(corazones~o~no~corazones)=\frac{13}{52}+\frac{39}{52}

P(corazones~o~no~corazones)=\frac{13+39}{52}+\frac{52}{52}=1

4.- Las 52 posibilidades de la baraja. Por ejemplo, en el caso de la baraja se tienen 52 cartas, cada una tiene 1 entre 52 posibilidades de ser elegida al azar. Si sumamos las 52 probabilidades tenemos 52 veces 1 entre 52, entonces, la probabilidad es 1.

Es importante notar que en cualquier caso —moneda, dado o baraja— ocurre uno, y solo uno, de los resultados posibles. Se trata pues de eventos mutuamente excluyentes.

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Cómo citar

Editor. (01 julio 2020). Eventos colectivamente exhaustivos – Definición y ejemplos. Celeberrima.com. Última actualización el 09 marzo 2022.