Ejemplos convertir números complejos a su forma binómica a partir forma polar

Si conocemos las coordenadas polares de un número complejo podemos determinar su forma binómica.

Un número complejo en su forma polar o trigonométrica se expresa como:

z=r\cos{\theta}+ir\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}\theta

Entonces, se tiene que:

a=r\cos{\theta}

b=r\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}\theta

Recordemos que un número complejo en su forma binómica se expresa como: a+bi.

En los siguientes ejemplos se convierten los números complejos expresados en forma polar a su forma binómica. Los primeros cuatro ejemplos representan el caso para uno de los cuatro cuadrantes, respectivamente.

Ejemplo 1:

z=4\sqrt{2}\cos{45^\circ}+i4\sqrt{2}\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}45^\circ

a=4\sqrt{2}\cos{45^\circ}=4\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=4

b=4\sqrt{2}\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}45^\circ=4\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=4

z=4+4i

Ejemplo 2:

z=4\sqrt{2}\cos{135^\circ}+i4\sqrt{2}\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}135^\circ

a=4\sqrt{2}\cos{135^\circ}=4\sqrt{2}\cdot-\frac{1}{\sqrt{2}}=-4

b=4\sqrt{2}\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}135^\circ=4\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=4

z=-4+4i

Ejemplo 3:

z=4\sqrt{2}\cos{225^\circ}+i4\sqrt{2}\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}225^\circ

a=4\sqrt{2}\cos{225^\circ}=4\sqrt{2}\cdot-\frac{1}{\sqrt{2}}=-4

b=4\sqrt{2}\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}225^\circ=4\sqrt{2}\cdot-\frac{1}{\sqrt{2}}=-4

z=-4-4i

Ejemplo 4:

z=4\sqrt{2}\cos{315^\circ}+i4\sqrt{2}\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}315^\circ

a=4\sqrt{2}\cos{315^\circ}=4\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=4

b=4\sqrt{2}\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}315^\circ=4\sqrt{2}\cdot-\frac{1}{\sqrt{2}}=-4

z=4-4i

Ejemplo 5:

z=5\cos{60^\circ}+i5\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}60^\circ

a=5\cos{60^\circ}=5\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{2}

b=5\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}60^\circ=5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}

z=\frac{5}{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}i

Ejemplo 6:

z=2\cos{30^\circ}+i2\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}30^\circ

a=2\cos{30^\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}

b=2\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}30^\circ=2\cdot\frac{1}{2}=1

z=\sqrt{3}+i

Ejemplo 7:

z=8\cos{120^\circ}+i8\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}120^\circ

a=8\cos{120^\circ}=8\cdot-\frac{1}{2}=-4

b=8\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}120^\circ=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}

z=-4+4\sqrt{3}i

Ejemplo 8:

z=10\cos{210^\circ}+i10\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}210^\circ

a=10\cos{210^\circ}=10\cdot-\frac{\sqrt{3}}{2}=-5\sqrt{3}

b=10\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}210^\circ=10\cdot-\frac{1}{2}=-5

z=-5\sqrt{3}-5i

Ejemplo 9:

z=\sqrt{3}\cos{300^\circ}+i\sqrt{3}\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}300^\circ

a=\sqrt{3}\cos{300^\circ}=\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}

b=\sqrt{3}\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}300^\circ=\sqrt{3}\cdot-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3}{2}

z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i

Ejemplo 10:

z=2\sqrt{3}\cos{330^\circ}+i2\sqrt{3}\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}330^\circ

a=2\sqrt{3}\cos{330^\circ}=2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3

b=2\sqrt{3}\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}330^\circ=2\sqrt{3}\cdot-\frac{1}{2}=-\sqrt{3}

z=3-\sqrt{3}i